【安富莱DSP教程】第40章 IIR滤波器的实现
特别说明：完整45期数字信号处理教程，原创高性能示波器代码全开源地址：链接第40章 IIR滤波器的实现
本章节讲解IIR滤波器直接I型的低通，高通，带通和带阻滤波器的实现。
40.1 IIR滤波器介绍
40.2 Matlab工具箱fdatool生成IIR滤波器系数
40.3 IIR低通滤波器设计
40.4 IIR高通滤波器设计
40.5 IIR带通滤波器设计
40.6 IIR带阻滤波器设计
40.7 总结
40.1 IIR滤波器介绍
ARM官方提供的直接I型IIR库支持Q7，Q15，Q31和浮点四种数据类型。其中Q15和Q31提供了基于Cortex-M3和Cortex-M4的快速版本。
直接I型IIR滤波器是基于二阶Biquad级联的方式来实现的。每个Biquad由一个二阶的滤波器组成：y = b0 * x + b1 * x + b2 * x + a1 * y + a2 * y
直接I型算法每个阶段需要5个系数和4个状态变量。
这里有一点要特别的注意，有些滤波器系数生成工具是采用的下面公式实现：y = b0 * x + b1 * x + b2 * x - a1 * y - a2 * y
比如matlab就是使用上面的公式实现的，所以在使用fdatool工具箱生成的a系数需要取反才能用于直接I型IIR滤波器的函数中。
高阶IIR滤波器的实现是采用二阶Biquad级联的方式来实现的。其中参数numStages就是用来做指定二阶Biquad的个数。比如8阶IIR滤波器就可以采用numStages=4个二阶Biquad来实现。
如果要实现9阶IIR滤波器就需要将numStages=5，这时就需要其中一个Biquad配置成一阶滤波器(也就是b2=0，a2=0)。 40.2 Matlab工具箱fdatool生成IIR滤波器系数
前面介绍FIR滤波器的时候，我们讲解了如何使用fdatool生成C头文件，从而获得滤波器系数。这里不能再使用这种方法了，主要是因为通过C头文件获取的滤波器系数需要通过ARM官方的IIR函数调用多次才能获得滤波结果，所以我们这里换另外一种方法。
下面我们讲解如何通过fdatool工具箱生成滤波器系数。首先在matlab的命令窗口输入fdatool就能打开这个工具箱：
fdatool界面打开效果如下：
IIR滤波器的低通，高通，带通，带阻滤波的设置会在下面一一讲解，这里说一下设置后相应参数后如何生成滤波器系数。参数设置好以后点击如下按钮：
点击Design Filter之后，注意左上角生成的滤波器结构：
默认生成的IIR滤波器类型是Direct-Form II, Second-Order Sections（直接II型，每个Section是一个二阶滤波器）。这里我们需要将其转换成Direct-Form I, Second-Order Sections，因为本章使用的IIR滤波器函数是Direct-Form I的结构。
转换方法，点击Edit->Convert Structure，界面如下，这里我们选择第一项，并点击OK：
转换好以后再点击File-Export，第一项选择Coefficient File（ASCII）：
第一项选择好以后，第二项选择Decimal：
两个选项都选择好以后，点击Export进行导出，导出后保存即可：
保存后Matlab会自动打开untitled.fcf文件，可以看到生成的系数：
%
% Generated by MATLAB(R) 7.14 and the Signal Processing Toolbox 6.17.
%
% Generated on: 30-Dec-2014 21:08:50
%
% Coefficient Format: Decimal
% Discrete-Time IIR Filter (real)
% -------------------------------
% Filter Structure : Direct-Form II, Second-Order Sections
% Number of Sections: 2
% Stable : Yes
% Linear Phase : No
SOS Matrix:
1211-1.1130298541633479 0.57406191508395477
1211-0.855397932775170180.20971535775655475
Scale Values:
0.11525801523015171
0.08857935624534613
由于咱们前面选择的是4阶IIR滤波，生成的结果就是由两组二阶IIR滤波系数组成，系数的对应顺序如下：
SOS Matrix:
1 2 1 1 -1.1130298541633479 0.57406191508395477
b0b1b2a0 a1 a2
1 2 1 1 -0.855397932775170180.20971535775655475
b0b1b2a0 a1 a2
注意，实际使用ARM官方的IIR函数调用的时候要将a1和a2取反。另外下面两组是每个二阶滤波器的增益，滤波后的结果要乘以这两个增益数值才是实际结果：
0.11525801523015171
0.08857935624534613
实际的滤波系数调用方法，看下面的例子即可。 40.3 IIR低通滤波器设计
本章使用的IIR滤波器函数是arm_biquad_cascade_df1_f32。下面使用此函数设计IIR低通，高通，带通和带阻滤波器。
40.3.1 函数arm_biquad_cascade_df1_f32说明
函数定义如下：
void arm_biquad_cascade_df1_f32(
const arm_biquad_casd_df1_inst_f32 * S,
float32_t * pSrc,
float32_t * pDst,
uint32_t blockSize)
参数定义：
*S points to an instance of the floating-point Biquad cascade structure.
*pSrc points to the block of input data.
*pDst points to the block of output data.
blockSizenumber of samples to process per call.
return none.
注意事项：
结构arm_fir_instance_f32的定义如下（在文件arm_math.h文件）：
typedef struct
{
/**< number of 2nd order stages in the filter.Overall order is 2*numStages. */
uint32_t numStages;
/**< Points to the array of state coefficients.The array is of length 4*numStages. */
float32_t *pState;
/**< Points to the array of coefficients.The array is of length 5*numStages. */
float32_t *pCoeffs;
} arm_biquad_casd_df1_inst_f32;
特别注意，参数pState指向的数组大小要是4倍的numStages，pCoeffs指向的数组大小要是5倍的numStages。
1. 参数pCoeffs指向滤波因数，滤波因数数组长度为numTaps。但要注意pCoeffs指向的滤波因数应该按照如下的顺序进行排列：
{b10, b11, b12, a11, a12, b20, b21, b22, a21, a22, ...}
先放第一个二阶Biquad系数，然后放第二个，以此类推。
2. pState指向状态变量数组。
3. blockSize 这个参数的大小没有特殊要求，用户只需保证大于1且小于等于采样点个数即可。
40.3.2 fdatool获取低通滤波器系数
设计一个如下的例子：
信号由50Hz正弦波和200Hz正弦波组成，采样率1Kbps，现设计一个巴特沃斯滤波器低通滤波器，采用直接I型，截止频率80Hz，采样400个数据，滤波器阶数设置为4。fadtool的配置如下：
配置好低通滤波器后，具体滤波器系数的生成大家参考本章第二小节的方法即可。
40.3.3 低通滤波器实现
通过工具箱fdatool获得低通滤波器系数后在开发板上运行函数arm_biquad_cascade_df1_f32来测试低通滤波器的效果。
#define numStages2 /* 2阶IIR滤波的个数 */
#define TEST_LENGTH_SAMPLES400 /* 采样点数 */
static float32_t testInput_f32_50Hz_200Hz; /* 采样点 */
static float32_t testOutput; /* 滤波后的输出 */
static float32_t IIRStateF32; /* 状态缓存，大小numTaps + blockSize - 1*/
/* 巴特沃斯低通滤波器系数 80Hz*/
const float32_t IIRCoeffs32LP = {
1.0f,2.0f,1.0f, 1.4797988943972167f,-0.68867695305386178f,
1.0f,2.0f,1.0f, 1.2128120926202184f,-0.38400416228655354f
};
/*
*********************************************************************************************************
* 函 数 名: arm_iir_f32_lp
* 功能说明: 调用函数arm_iir_f32_lp实现低通滤波器
* 形 参：无
* 返 回 值: 无
*********************************************************************************************************
*/
static void arm_iir_f32_lp(void)
{
uint32_t i;
arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
float32_t ScaleValue;
/* 初始化 */
arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, numStages, (float32_t *)&IIRCoeffs32LP, (float32_t
*)&IIRStateF32);
/* IIR滤波 */
arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, testInput_f32_50Hz_200Hz, testOutput, TEST_LENGTH_SAMPLES);
/*放缩系数 */
ScaleValue = 0.052219514664161221f * 0.04279801741658381f
/* 打印滤波后结果 */
for(i=0; i<TEST_LENGTH_SAMPLES; i++)
{
printf("%frn", testOutput*ScaleValue);
}
}
运行如上函数可以通过串口打印出函数arm_biquad_cascade_df1_f32滤波后的波形数据，下面通过Matlab绘制波形来对比Matlab计算的结果和ARM官方库计算的结果。
对比前需要先将串口打印出的一组数据加载到Matlab中， arm_biquad_cascade_df1_f32的计算结果起名sampledata，加载方法在前面的教程中已经讲解过，这里不做赘述了。Matlab中运行的代码如下：
fs=1000; %设置采样频率 1K
N=400; %采样点数
n=0:N-1;
t=n/fs; %时间序列
f=n*fs/N; %频率序列
x1=sin(2*pi*50*t);
x2=sin(2*pi*200*t); %50Hz和200Hz正弦波
subplot(211);
plot(t, x1);
title('滤波后的理想波形');
grid on;
subplot(212);
plot(t, sampledata);
title('ARM官方库滤波后的波形');
grid on;
Matlab计算结果如下：
从上面的波形对比来看，matlab和函数arm_biquad_cascade_df1_f32计算的结果基本是一致的。为了更好的说明滤波效果，下面从频域的角度来说明这个问题，Matlab上面运行如下代码：
fs=1000; %设置采样频率 1K
N=400; %采样点数
n=0:N-1;
t=n/fs; %时间序列
f=n*fs/N; %频率序列
x = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*200*t); %50Hz和200Hz正弦波合成
subplot(211);
y=fft(x, N); %对信号x做FFT
plot(f,abs(y));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('原始信号FFT');
grid on;
y3=fft(sampledata, N); %经过IIR滤波器后得到的信号做FFT
subplot(212);
plot(f,abs(y3));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('IIR滤波后信号FFT');
grid on;
Matlab计算结果如下：
上面波形变换前的FFT和变换后FFT可以看出，200Hz的正弦波基本被滤除。 40.4 IIR高通滤波器设计
40.4.1 fdatool获取高通滤波器系数
设计一个如下的例子：
信号由50Hz正弦波和200Hz正弦波组成，采样率1Kbps，现设计一个巴特沃斯滤波器高通滤波器，采用直接I型，截止频率140Hz，采样400个数据，滤波器阶数设置为4。fadtool的配置如下：
配置好高通滤波器后，具体滤波器系数的生成大家参考本章第二小节的方法即可。
40.4.2 高通滤波器实现
通过工具箱fdatool获得高通滤波器系数后在开发板上运行函数arm_biquad_cascade_df1_f32来测试高通滤波器的效果。
#define numStages2 /* 2阶IIR滤波的个数 */
#define TEST_LENGTH_SAMPLES400 /* 采样点数 */
static float32_t testInput_f32_50Hz_200Hz; /* 采样点 */
static float32_t testOutput; /* 滤波后的输出 */
static float32_t IIRStateF32; /* 状态缓存，大小numTaps + blockSize - 1*/
/* 巴特沃斯高通滤波器系数 140Hz */
const float32_t IIRCoeffs32HP = {
1.0f,-2.0f,1.0f,0.9845430147411518f, -0.54456536085081642f,
1.0f,-2.0f,1.0f,0.74471447786432121f,-0.16831887384397309f,
};
/*
*********************************************************************************************************
* 函 数 名: arm_iir_f32_hp
* 功能说明: 调用函数arm_iir_f32_hp实现高通滤波器
* 形 参：无
* 返 回 值: 无
*********************************************************************************************************
*/
static void arm_iir_f32_hp(void)
{
uint32_t i;
arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
float32_t ScaleValue;
/* 初始化 */
arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, numStages, (float32_t *)&IIRCoeffs32HP, (float32_t
*)&IIRStateF32);
/* IIR滤波 */
arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, testInput_f32_50Hz_200Hz, testOutput, TEST_LENGTH_SAMPLES);
/*放缩系数 */
ScaleValue = 0.63227709389799203f * 0.47825833792707356f;
/* 打印滤波后结果 */
for(i=0; i<TEST_LENGTH_SAMPLES; i++)
{
printf("%frn", testOutput*ScaleValue);
}
}
运行如上函数可以通过串口打印出函数arm_biquad_cascade_df1_f32滤波后的波形数据，下面通过Matlab绘制波形来对比Matlab计算的结果和ARM官方库计算的结果。
对比前需要先将串口打印出的一组数据加载到Matlab中， arm_biquad_cascade_df1_f32的计算结果起名sampledata，加载方法在前面的教程中已经讲解过，这里不做赘述了。Matlab中运行的代码如下：
fs=1000; %设置采样频率 1K
N=400; %采样点数
n=0:N-1;
t=n/fs; %时间序列
f=n*fs/N; %频率序列
x1=sin(2*pi*50*t);
x2=sin(2*pi*200*t); %50Hz和200Hz正弦波
subplot(211);
plot(t, x2);
title('滤波后的理想波形');
grid on;
subplot(212);
plot(t, sampledata);
title('ARM官方库滤波后的波形');
grid on;
Matlab计算结果如下：
从上面的波形对比来看，matlab和函数arm_biquad_cascade_df1_f32计算的结果基本是一致的。为了更好的说明滤波效果，下面从频域的角度来说明这个问题，Matlab上面运行如下代码：
fs=1000; %设置采样频率 1K
N=400; %采样点数
n=0:N-1;
t=n/fs; %时间序列
f=n*fs/N; %频率序列
x = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*200*t); %50Hz和200Hz正弦波合成
subplot(211);
y=fft(x, N); %对信号x做FFT
plot(f,abs(y));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('原始信号FFT');
grid on;
y3=fft(sampledata, N); %经过IIR滤波器后得到的信号做FFT
subplot(212);
plot(f,abs(y3));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('IIR滤波后信号FFT');
grid on;
Matlab计算结果如下：
上面波形变换前的FFT和变换后FFT可以看出，50Hz的正弦波基本被滤除。 40.5 IIR带通滤波器设计
40.5.1 fdatool获取低通滤波器系数
设计一个如下的例子：
信号由50Hz正弦波和200Hz正弦波组成，采样率1Kbps，现设计一个巴特沃斯滤波器带通滤波器，采用直接I型，截止频率140Hz和，采样400个数据，滤波器阶数设置为4。fadtool的配置如下：
配置好带通滤波器后，具体滤波器系数的生成大家参考本章第二小节的方法即可。
40.5.2 带通滤波器实现
通过工具箱fdatool获得带通滤波器系数后在开发板上运行函数arm_biquad_cascade_df1_f32来测试带通滤波器的效果。
#define numStages2 /* 2阶IIR滤波的个数 */
#define TEST_LENGTH_SAMPLES400 /* 采样点数 */
static float32_t testInput_f32_50Hz_200Hz; /* 采样点 */
static float32_t testOutput; /* 滤波后的输出 */
static float32_t IIRStateF32; /* 状态缓存，大小numTaps + blockSize - 1*/
/* 巴特沃斯带通滤波器系数140Hz 400Hz*/
const float32_t IIRCoeffs32BP = {
1.0f,0.0f,-1.0f, -1.1276518720541668f, -0.47001314508753411f,
1.0f,0.0f,-1.0f, 0.77495305804604886f,-0.36707750055668387f
};
/*
*********************************************************************************************************
* 函 数 名: arm_iir_f32_bp
* 功能说明: 调用函数arm_iir_f32_hp实现带通滤波器
* 形 参：无
* 返 回 值: 无
*********************************************************************************************************
*/
static void arm_iir_f32_bp(void)
{
uint32_t i;
arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
float32_t ScaleValue;
/* 初始化 */
arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, numStages, (float32_t *)&IIRCoeffs32BP, (float32_t
*)&IIRStateF32);
/* IIR滤波 */
arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, testInput_f32_50Hz_200Hz, testOutput, TEST_LENGTH_SAMPLES);
/*放缩系数 */
ScaleValue = 0.55815658576077365f * 0.55815658576077365f;
/* 打印滤波后结果 */
for(i=0; i<TEST_LENGTH_SAMPLES; i++)
{
printf("%frn", testOutput*ScaleValue);
}
}
运行如上函数可以通过串口打印出函数arm_biquad_cascade_df1_f32滤波后的波形数据，下面通过Matlab绘制波形来对比Matlab
计算的结果和ARM官方库计算的结果。
对比前需要先将串口打印出的一组数据加载到Matlab中， arm_biquad_cascade_df1_f32的计算结果起名sampledata，加载方法在前面的教程中已经讲解过，这里不做赘述了。Matlab中运行的代码如下：
fs=1000; %设置采样频率 1K
N=400; %采样点数
n=0:N-1;
t=n/fs; %时间序列
f=n*fs/N; %频率序列
x1=sin(2*pi*50*t);
x2=sin(2*pi*200*t); %50Hz和200Hz正弦波
subplot(211);
plot(t, x1);
title('滤波后的理想波形');
grid on;
subplot(212);
plot(t, sampledata);
title('ARM官方库滤波后的波形');
grid on;
Matlab计算结果如下：
从上面的波形对比来看，matlab和函数arm_biquad_cascade_df1_f32计算的结果基本是一致的。为了更好的说明滤波效果，下面从频域的角度来说明这个问题，Matlab上面运行如下代码：
fs=1000; %设置采样频率 1K
N=400; %采样点数
n=0:N-1;
t=n/fs; %时间序列
f=n*fs/N; %频率序列
x = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*200*t); %50Hz和200Hz正弦波合成
subplot(211);
y=fft(x, N); %对信号x做FFT
plot(f,abs(y));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('原始信号FFT');
grid on;
y3=fft(sampledata, N); %经过IIR滤波器后得到的信号做FFT
subplot(212);
plot(f,abs(y3));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('IIR滤波后信号FFT');
grid on;
Matlab计算结果如下：
上面波形变换前的FFT和变换后FFT可以看出，50Hz的正弦波基本被滤除。 40.6 IIR带阻滤波器设计
40.6.1 fdatool获取带阻滤波器系数
设计一个如下的例子：
信号由50Hz正弦波和200Hz正弦波组成，采样率1Kbps，现设计一个巴特沃斯滤波器带阻滤波器，采用直接I型，截止频率100Hz和325Hz，采样400个数据，滤波器阶数设置为4。fadtool的配置如下：
配置好带阻滤波器后，具体滤波器系数的生成大家参考本章第二小节的方法即可。
40.6.2 带阻滤波器实现
通过工具箱fdatool获得带阻滤波器系数后在开发板上运行函数arm_biquad_cascade_df1_f32来测试带阻滤波器的效果。
#define numStages2 /* 2阶IIR滤波的个数 */
#define TEST_LENGTH_SAMPLES400 /* 采样点数 */
static float32_t testInput_f32_50Hz_200Hz; /* 采样点 */
static float32_t testOutput; /* 滤波后的输出 */
static float32_t IIRStateF32; /* 状态缓存，大小numTaps + blockSize - 1*/
/* 巴特沃斯带阻滤波器系数100Hz 325Hz*/
const float32_t IIRCoeffs32BS = {
1.0f,-0.61400192638335005f,1.0f,1.1451427879497746f, -0.50298007146721391f,
1.0f,-0.61400192638335005f,1.0f,-0.47458704658841883f, -0.35305199748708849f
};
/*
*********************************************************************************************************
* 函 数 名: arm_iir_f32_bs
* 功能说明: 调用函数arm_iir_f32_bs实现带阻滤波器
* 形 参：无
* 返 回 值: 无
*********************************************************************************************************
*/
static void arm_iir_f32_bs(void)
{
uint32_t i;
arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
float32_t ScaleValue;
/* 初始化 */
arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, numStages, (float32_t *)&IIRCoeffs32BS, (float32_t
*)&IIRStateF32);
/* IIR滤波 */
arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, testInput_f32_50Hz_200Hz, testOutput, TEST_LENGTH_SAMPLES);
/*放缩系数 */
ScaleValue = 0.58347920314378698f * 0.58347920314378698f;
/* 打印滤波后结果 */
for(i=0; i<TEST_LENGTH_SAMPLES; i++)
{
printf("%frn", testOutput*ScaleValue);
}
}
运行如上函数可以通过串口打印出函数arm_biquad_cascade_df1_f32滤波后的波形数据，下面通过Matlab绘制波形来对比Matlab计算的结果和ARM官方库计算的结果。
对比前需要先将串口打印出的一组数据加载到Matlab中， arm_biquad_cascade_df1_f32的计算结果起名sampledata，加载方法在前面的教程中已经讲解过，这里不做赘述了。Matlab中运行的代码如下：
fs=1000; %设置采样频率 1K
N=400; %采样点数
n=0:N-1;
t=n/fs; %时间序列
f=n*fs/N; %频率序列
x1=sin(2*pi*50*t);
x2=sin(2*pi*200*t); %50Hz和200Hz正弦波
subplot(211);
plot(t, x1);
title('滤波后的理想波形');
grid on;
subplot(212);
plot(t, sampledata);
title('ARM官方库滤波后的波形');
grid on;
Matlab计算结果如下：
从上面的波形对比来看，matlab和函数arm_biquad_cascade_df1_f32计算的结果基本是一致的。为了更好的说明滤波效果，下面从频域的角度来说明这个问题，Matlab上面运行如下代码：
fs=1000; %设置采样频率 1K
N=400; %采样点数
n=0:N-1;
t=n/fs; %时间序列
f=n*fs/N; %频率序列
x = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*200*t); %50Hz和200Hz正弦波合成
subplot(211);
y=fft(x, N); %对信号x做FFT
plot(f,abs(y));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('原始信号FFT');
grid on;
y3=fft(sampledata, N); %经过IIR滤波器后得到的信号做FFT
subplot(212);
plot(f,abs(y3));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');
title('IIR滤波后信号FFT');
grid on;
Matlab计算结果如下：
上面波形变换前的FFT和变换后FFT可以看出，200Hz的正弦波基本被滤除。 40.7 总结
本章节主要讲解了巴特沃斯低通，高通，带通和带阻滤波器的实现，有兴趣的可以使用同样的方法实现切比雪夫滤波器的设计。
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