【安富莱DSP教程】第32章 实数FFT的实现

席萌0209

特别说明：完整45期数字信号处理教程，原创高性能示波器代码全开源地址：链接

第32章 实数FFT的实现

    本章主要讲解实数的浮点和定点Q31，Q15的实现。关于这部分的知识点和函数的计算结果上，官方的文档有一些小错误，在章节中会跟大家详细讲述，还有一个要注意的问题，调用实数FFT函数一定要使用CMSIS-DSP V1.4.4及其以上版本，以前的版本有bug。
    本章节使用的复数FFT函数来自ARM官方库的TransformFunctions部分
    32.1 复数FFT
    32.2 复数FFT-基2算法
    32.3 复数FFT-基4算法
    32.4 总结

32.1 实数FFT

32.1.1 描述

    CMSIS DSP库里面包含一个专门用于计算实数序列的FFT库，很多情况下，用户只需要计算实数序列即可。计算同样点数FFT的实数序列要比计算同样点数的虚数序列有速度上的优势。
    快速的rfft算法是基于混合基cfft算法实现的。
    一个N点的实数序列FFT正变换采用下面的步骤实现：

    由上面的框图可以看出，实数序列的FFT是先计算N/2个实数的CFFT，然后再重塑数据进行处理从而获得半个FFT频谱即可（利用了FFT变换后频谱的对称性）。
    一个N点的实数序列FFT逆变换采用下面的步骤实现：

    实数FFT支持浮点，Q31和Q15三种数据类型。

32.2 实数FFT

32.2.1 arm_rfft_fast_f32

函数定义如下：
    void arm_rfft_fast_f32(
      arm_rfft_fast_instance_f32 * S,
      float32_t * p, float32_t * pOut,
      uint8_t ifftFlag)
参数定义：
     [in]  *S          points to an arm_rfft_fast_instance_f32 structure.
     [in]  *p          points to the input buffer.
     [in]  *pOut      points to the output buffer.
     [in]  ifftFlag     RFFT if flag is 0, RIFFT if flag is 1
注意事项：
结构arm_rfft_fast_instance_f32的定义如下（在文件arm_math.h文件）：
      typedef struct
      {
          arm_cfft_instance_f32 Sint;      /**< Internal CFFT structure. */
          uint16_t fftLenRFFT;            /**< length of the real sequence */
      float32_t * pTwiddleRFFT;       /**< Twiddle factors real stage  */
      } arm_rfft_fast_instance_f32 ;

    下面通过在开发板上运行函数arm_rfft_fast_f32和arm_cfft_f32计算幅频响应，然后将相应的频率响应结果在Matlab上面绘制出来。

1. /*
2. *********************************************************************************************************
3. *    函 数 名: arm_rfft_fast_f32_app
4. *    功能说明: 调用函数arm_rfft_fast_f32计算1024点实数序列的幅频响应并跟使用函数arm_cfft_f32计算结果做对比
5. *    形    参：无
6. *    返 回 值: 无
7. *********************************************************************************************************
8. */
9. static void arm_rfft_fast_f32_app(void)
10. {
11. uint16_t i;
12. arm_rfft_fast_instance_f32 S;
13. /* 实数序列FFT长度 */
14. fftSize = 1024;
15. /* 正变换 */
16.     ifftFlag = 0;
17. /* 初始化结构体S中的参数 */
18.      arm_rfft_fast_init_f32(&S, fftSize);
19. /* 按照实部，虚部，实部，虚部..... 的顺序存储数据 */
20. for(i=0; i<1024; i++)
21. {
22. /* 50Hz正弦波，采样率1KHz */
23. testInput_f32_10khz[i] = 1.2f*arm_sin_f32(2*3.1415926f*50*i/1000)+1;
24. }
25. /* 1024点实序列快速FFT */
26. arm_rfft_fast_f32(&S, testInput_f32_10khz, testOutput_f32_10khz, ifftFlag);
27. /* 为了方便跟函数arm_cfft_f32计算的结果做对比，这里求解了1024组模值，实际函数arm_rfft_fast_f32
28.    只求解出了512组  
29. */
30.      arm_cmplx_mag_f32(testOutput_f32_10khz, testOutput, fftSize);
32. /* 串口打印求解的模值 */
33. for(i=0; i<fftSize; i++)
34. {
35. printf("%f\r\n", testOutput[i]);
36. }
38. printf("****************************分割线***************************************\r\n");
40. for(i=0; i<1024; i++)
41. {
42. /* 虚部全部置零 */
43. testInput_f32_10khz[i*2+1] = 0;
44. /* 50Hz正弦波，采样率1KHz ,作为实部 */
45. testInput_f32_10khz[i*2] = 1.2f*arm_sin_f32(2*3.1415926f*50*i/1000)+1;
46. }
47. arm_cfft_f32(&arm_cfft_sR_f32_len1024, testInput_f32_10khz, ifftFlag, doBitReverse);
48. /* 求解模值  */
49.      arm_cmplx_mag_f32(testInput_f32_10khz, testOutput, fftSize);
51. /* 串口打印求解的模值 */
52. for(i=0; i<fftSize; i++)
53. {
54. printf("%f\r\n", testOutput[i]);
55. }
56. }

复制代码

运行如上函数可以通过串口打印出函数arm_rfft_fast_f32和arm_cfft_f32计算的幅频模值，下面通过Matlab绘制波形来对比这两种模值。
    对比前需要先将串口打印出的两组数据加载到Matlab中，arm_rfft_fast_f32的计算结果起名signal，arm_cfft_f32的计算结果起名sampledata，
加载方法在前面的教程中已经讲解过，这里不做赘述了。Matlab中运行的代码如下：
Fs = 1000;              % 采样率
N  = 1024;            % 采样点数

n  = 0:N-1;            % 采样序列
f = n * Fs / N;          %真实的频率

subplot(3,1,1);
plot(f,  signal);        %绘制RFFT结果
title('实数FFT');
xlabel('时间');
ylabel('幅值');

subplot(3,1,2);
plot(f,  sampledata);   %CFFT结果
title('复数FFT');
xlabel('时间');
ylabel('幅值');

Matlab运行结果如下：

    从上面的前512点对比中，我们可以看出两者的计算结果是相符的。这里有一点要特别注意，官方文档中对于函数arm_rfft_fast_f32输出结果的实部，虚部排列顺序说明是错误的。函数arm_rfft_fast_f32的输出结果仍然是实部，虚部，实部，虚部….. 依次排列下去。
    函数arm_rfft_fast_f32在计算直流分量（也就是频率为0的值）的虚部上是有错误的。关于这点大家可以将实际的实部和虚部输出结果打印出来做对比，但差别很小，基本可以忽略。

32.2.2 arm_rfft_q15

函数定义如下：
    void arm_rfft_q15(
          const arm_rfft_instance_q15 * S,
          q15_t * pSrc,
          q15_t * pDst)
参数定义：
    [in]  *S    points to an instance of the Q15 RFFT/RIFFT structure.   
    [in]  *pSrc points to the input buffer.   
    [out] *pDst points to the output buffer.   
    return       none.  
注意事项：
结构arm_rfft_instance_q15的定义如下（在文件arm_math.h文件）：
      typedef struct
       {
      uint32_t fftLenReal;   
      uint8_t ifftFlagR;   
           uint8_t bitReverseFlagR;                 
           uint32_t twidCoefRModifier;   
           q15_t *pTwiddleAReal;                    
          q15_t *pTwiddleBReal;                     
          const arm_cfft_instance_q15 *pCfft;      
      } arm_rfft_instance_q15;

    下面通过在开发板上运行函数arm_rfft_q15和arm_cfft_f32计算幅频响应，然后将相应的频率响应结果在Matlab上面绘制出来。

1. /*
2. *********************************************************************************************************
3. *    函 数 名: arm_rfft_q15_app
4. *    功能说明: 调用函数arm_rfft_q15计算1024点实数序列的幅频响应并跟使用函数arm_cfft_f32计算的结果做对比。
5. *    形    参：无
6. *    返 回 值: 无
7. *********************************************************************************************************
8. */
9. static void arm_rfft_q15_app(void)
10. {
11. uint16_t i,j;
12. arm_rfft_instance_q15 S;
13. /* 实数序列FFT长度 */
14. fftSize = 1024;
15. /* 正变换 */
16.     ifftFlag = 0;
17. /* 码位倒序 */
18.     doBitReverse = 1;
19. /* 初始化结构体S */
20.      arm_rfft_init_q15(&S, fftSize, ifftFlag, doBitReverse);
21. /* 按照实部，虚部，实部，虚部..... 的顺序存储数据 */
22. for(i=0; i<1024; i++)
23. {
24. /* 51.2Hz正弦波，采样率1024Hz。
25.    arm_sin_q15输入参数的范围[0, 32768)， 这里每20次为一个完整的正弦波，
26.    32768 / 20 = 1638.4
27. */
28. j = i % 20;
29.       testInput_q15_50hz[i] = arm_sin_q15(1638*j);
30. }
31. /* 1024点实序列快速FFT */
32. arm_rfft_q15(&S, testInput_q15_50hz, testOutput_q15_50hz);
33. /* 由于输出结果的格式是Q5，所以这里将定点数转换为浮点数 */
34. for(i = 0; i < fftSize; i++)
35. {
36. testOutput_f32_10khz[i] = (float32_t)testOutput_q15_50hz[i]/32;
37. }
38. /* 为了方便对比，这里求解了1024组复数，实际上面的变化只有512组  
39.    实际函数arm_rfft_q15只求解出了512组  */
40.      arm_cmplx_mag_f32(testOutput_f32_10khz, testOutput, fftSize);
42. /* 串口打印求解的模值 */
43. for(i=0; i<fftSize; i++)
44. {
45. printf("%f\r\n", testOutput[i]);
46. }
47. printf("****************************分割线***************************************\r\n");
48. for(i=0; i<1024; i++)
49. {
50. /* 51.2Hz正弦波，采样率1024Hz。
51.    arm_sin_q15输入参数的范围[0, 32768)， 这里每20次为一个完整的正弦波，
52.    32768 / 20 = 1638.4
53. */
54. j = i % 20;
55. testInput_f32_10khz[i*2] = (float32_t) arm_sin_q15(1638*j)/32768;
56. /* 虚部全部置零 */
57. testInput_f32_10khz[i*2+1] = 0;
58. }
59. arm_cfft_f32(&arm_cfft_sR_f32_len1024, testInput_f32_10khz, ifftFlag, doBitReverse);
60. /* 求解模值  */
61.      arm_cmplx_mag_f32(testInput_f32_10khz, testOutput, fftSize);
62. /* 串口打印求解的模值 */
63. for(i=0; i<fftSize; i++)
64. {
65. printf("%f\r\n", testOutput[i]);
66. }
67. }

复制代码

运行如上函数可以通过串口打印出函数arm_rfft_q15和arm_cfft_f32计算的幅频模值，下面通过Matlab绘制波形来对比这两种模值。
    对比前需要先将串口打印出的两组数据加载到Matlab中，arm_rfft_q15的计算结果起名signal，arm_cfft_f32的计算结果起名sampledata，
加载方法在前面的教程中已经讲解过，这里不做赘述了。Matlab中运行的代码如下：
Fs = 1000;             % 采样率
N  = 1024;            % 采样点数

n  = 0:N-1;            % 采样序列
f = n * Fs / N;          %真实的频率

subplot(3,1,1);
plot(f,  signal);        %绘制RFFT结果
title('实数FFT');
xlabel('时间');
ylabel('幅值');

subplot(3,1,2);
plot(f,  sampledata);   %CFFT结果
title('复数FFT');
xlabel('时间');
ylabel('幅值');

Matlab运行结果如下：

    从上面的前512点对比中，我们可以看出两者的计算结果是相符的。这里有一点要特别注意，官方文档中对于函数arm_rfft_q31输出结果的实部，虚部排列顺序说明是错误的。函数arm_rfft_q31的输出结果仍然是实部，虚部，实部，虚部….. 依次排列下去。

32.2.3 arm_rfft_q31

函数定义如下：
    void arm_rfft_q31(
          const arm_rfft_instance_q31 * S,
          q31_t * pSrc,
          q31_t * pDst)
参数定义：
    [in]  *S    points to an instance of the Q31 RFFT/RIFFT structure.   
    [in]  *pSrc points to the input buffer.   
    [out] *pDst points to the output buffer.   
    return       none.  
注意事项：
结构arm_rfft_instance_q31的定义如下（在文件arm_math.h文件）：
      typedef struct
      {
          uint32_t fftLenReal;                     
          uint8_t ifftFlagR;                          
          uint8_t bitReverseFlagR;                  
          uint32_t twidCoefRModifier;                 
          q31_t *pTwiddleAReal;                       
          q31_t *pTwiddleBReal;                       
          const arm_cfft_instance_q31 *pCfft;      
      } arm_rfft_instance_q31;

    下面通过在开发板上运行函数arm_rfft_q31和arm_cfft_f32计算幅频响应，然后将相应的频率响应结果在Matlab上面绘制出来。

1. /*
2. *********************************************************************************************************
3. *    函 数 名: arm_rfft_q31_app
4. *    功能说明: 调用函数arm_rfft_q31计算1024点实数序列的幅频响应并跟使用函数arm_cfft_f32计算的结果做对比。
5. *    形    参：无
6. *    返 回 值: 无
7. *********************************************************************************************************
8. */
9. static void arm_rfft_q31_app(void)
10. {
11. uint16_t i,j;
12. arm_rfft_instance_q31 S;
13. /* 实数序列FFT长度 */
14. fftSize = 1024;
15. /* 正变换 */
16.     ifftFlag = 0;
17. /* 码位倒序 */
18.     doBitReverse = 1;
19. /* 初始化结构体S */
20.      arm_rfft_init_q31(&S, fftSize, ifftFlag, doBitReverse);
21. /* 按照实部，虚部，实部，虚部..... 的顺序存储数据 */
22. for(i=0; i<1024; i++)
23. {
24. /* 51.2Hz正弦波，采样率1024Hz。
25.    arm_sin_q31输入参数的范围0-2^31， 这里每20次为一个完整的正弦波，
26.    2^31 / 20 = 107374182.4
27. */
28. j = i % 20;
29.       testInput_q31_50hz[i] = arm_sin_q31(107374182*j);
30. }
31. /* 1024点实序列快速FFT */
32. arm_rfft_q31(&S, testInput_q31_50hz, testOutput_q31_50hz);
33. /* 由于输出结果的格式是Q21，所以这里将定点数转换为浮点数 */
34. for(i = 0; i < fftSize; i++)
35. {
36. /* 输出的数据是11.21格式，2^21 = 4194304*/
37. testOutput_f32_10khz[i] = (float32_t)testOutput_q31_50hz[i]/2097152;
38. }
39. /* 为了方便对比，这里求解了1024组复数，实际上面的变化只有512组  
40.    实际函数arm_rfft_q31只求解出了512组  */
41.      arm_cmplx_mag_f32(testOutput_f32_10khz, testOutput, fftSize);
42. /* 串口打印求解的模值 */
43. for(i=0; i<fftSize; i++)
44. {
45. printf("%f\r\n", testOutput[i]);
46. }
47. printf("****************************分割线***************************************\r\n");
48. for(i=0; i<1024; i++)
49. {
50. /* 51.2Hz正弦波，采样率1024Hz。
51.    arm_sin_q31输入参数的范围0-2^31， 这里每20次为一个完整的正弦波，
52.    2^31 / 20 = 107374182.4
53. */
54. j = i % 20;
55.       testInput_f32_10khz[i*2] = (float32_t)arm_sin_q31(107374182*j)/2147483648;
56. /* 虚部全部置零 */
57. testInput_f32_10khz[i*2+1] = 0;
58. }
59. arm_cfft_f32(&arm_cfft_sR_f32_len1024, testInput_f32_10khz, ifftFlag, doBitReverse);
60. /* 求解模值  */
61.      arm_cmplx_mag_f32(testInput_f32_10khz, testOutput, fftSize);
62. /* 串口打印求解的模值 */
63. for(i=0; i<fftSize; i++)
64. {
65. printf("%f\r\n", testOutput[i]);
66. }
67. }

复制代码

运行如上函数可以通过串口打印出函数arm_rfft_q15和arm_cfft_f32计算的幅频模值，下面通过Matlab绘制波形来对比这两种模值。
    对比前需要先将串口打印出的两组数据加载到Matlab中，arm_rfft_q15的计算结果起名signal，arm_cfft_f32的计算结果起名sampledata，
加载方法在前面的教程中已经讲解过，这里不做赘述了。Matlab中运行的代码如下：
Fs = 1000;             % 采样率
N  = 1024;            % 采样点数

n  = 0:N-1;            % 采样序列
f = n * Fs / N;          %真实的频率

subplot(3,1,1);
plot(f,  signal);        %绘制RFFT结果
title('实数FFT');
xlabel('时间');
ylabel('幅值');

subplot(3,1,2);
plot(f,  sampledata);   %CFFT结果
title('复数FFT');
xlabel('时间');
ylabel('幅值');

Matlab运行结果如下：

    从上面的前512点对比中，我们可以看出两者的计算结果是相符的。这里有一点要特别注意，官方文档中对于函数arm_rfft_q31输出结果的实部，虚部排列顺序说明是错误的。函数arm_rfft_q31的输出结果仍然是实部，虚部，实部，虚部….. 依次排列下去。

32.3 总结
    使用实数FFT计算的时候要特别的注意本章节提到的几个错误点。