【安富莱DSP教程】第36章 FIR滤波器的Matlab设计

席萌0209

特别说明：完整45期数字信号处理教程，原创高性能示波器代码全开源地址：链接


第36章 FIR滤波器的Matlab设计


    本章节讲解FIR滤波器的Matlab设计。主要是函数fir1和fir2的使用。
    36.1 窗函数
    36.2 fir1函数
    36.3 fir2函数
    36.4 总结


36.1 窗函数


    在数字信号处理中不可避免地要用到数据截取的问题。例如，在应用DFT的时候，数据x(n)总是有限长的，在滤波器设计中遇到了对理想滤波器抽样响应h(n)的截取问题，在功率谱估计中也要遇到对自相关函数的截取问题。总之，我们在实际工作中所能处理的离散序列总是有限长，把一个长序列变换成有限长的序列不可避免的要用到窗函数。因此，窗函数本身的研究及其应用是信号处理中的一个基本问题。
    不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的，但是我们可以通过选择不同的窗函数对它们的影响进行抑制。(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高)。
   对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。
l 矩形窗：
    矩形窗属于时间变量的零次幂窗。矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。
l 三角窗：
    三角窗亦称费杰（Fejer）窗，是幂窗的一次方形式。与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。
l 汉宁窗：
    汉宁窗又称升余弦窗，汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，或者说是 3个 sinc（t）型函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了 π/T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。可以看出，汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗．但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。
l 海明窗：
    海明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗。海明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰减为一42dB．海明窗的频谱也是由3个矩形时窗的频谱合成，但其旁瓣衰减速度为20dB/（10oct），这比汉宁窗衰减速度慢。海明窗与汉宁窗都是很有用的窗函数。
l 高斯窗：
    三角窗亦称费杰（Fejer）窗，是幂窗的一次方形式。与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。
    还有很多其它的窗口这里就不做介绍了，需更详细的了解的话，可以看matlab中help文档中的如下部分（这里只截图了一部分窗口）。

    或者直接在命令窗口输入wintool可以打开窗口工具：

   打开后界面如下：

席萌0209

36.2 fir1函数



36.2.1 fir1函数介绍


    函数fir1用来设计标准频率响应的基于窗函数的FIR滤波器，可实现加窗线性相位FIR滤波器设计。
语法：
    b = fir1(n,Wn)
    b = fir1(n,Wn,'ftype')
    b = fir1(n,Wn,window)
    b = fir1(n,Wn,'ftype',window)
    b = fir1(...,'normalization')
      其中，n：为了滤波器的阶数；    Wn：为滤波器的截止频率；
         ftype：参数用来决定滤波器的类型，当ftype=high时，可设计高通滤波器，当ftype=stop时，可设计带阻滤波器。
Window参数用来指导滤波器采用的窗函数类型。其默认值为汉明（Hamming）窗。
     使用fir1函数可设计标准的低通，高通，带通和带阻滤波器。滤波器的系数包含在返回值b中，可表示为：
                                b(z) = b(1) + b(2)z-1 + …… +b(n+1)z-n
(1) 采用汉明窗设计低通FIR滤波器
使用b=fir1(n, Wn)可得到低通滤波器。其中， 0Wn1, Wn=1相当于0.5。其语法格式为

   b=fir1(n, Wn)

(2) 采用汉明窗设计高通FIR滤波器
在b=fir1(n, Wn, 'ftype')中，当ftype=high时，可设计高通滤波器。其语法格式为

b=fir1(n, Wn, 'high')

(3) 采用汉明窗设计带通FIR滤波器
在b=fir1(n, Wn)中，当Wn=[W1  W2]时，fir1函数可得到带通滤波器，其通带为W1 < W < W2
W1 和 W2分别为通带的下限频率和上限频率。其语法格式为

b=fir1(n, [W1  W2])

(4) 采用汉明窗设计带阻FIR滤波器
在b = fir1(n,Wn,'ftype')中，当ftype=stop，Wn=[W1  W2]时，fir1函数可得到带阻滤波器，其语法格式为

b=fir1(n,  [W1  W2], 'stop')

(5) 采用其他窗口函数设计FIR滤波器
使用Window参数，可以用其他窗口函数设计出各种加窗滤波器，Window参数可采用的窗口函数有Boxcar，Hamming，Bartlett，Blackman，Kasier和Chebwin等。其默认时为Hamming窗。例如，采用Bartlett窗设计带阻滤波器，其语法结构为

b=fir1(n, [W1  W2], 'stop', Bartlett[n+1])

    注意：用fir1函数设计高通和带阻滤波器时，所使用的阶数n应为偶数，当输入的阶数n为奇数时，fir1函数会自动将阶数增加1形成偶数。

36.2.2 fir1设计低通滤波器实例


     下面我们通过一个实例来讲解fir1的用法。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将200Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数fir1设计一组低通滤波器系数，其阶数是30，截止频率为0.25（也就是125Hz）。Matlab运行代码如下：

1. %****************************************************************************************
2. %                             FIR低通滤波器设计
3. %***************************************************************************************
4. fs=1000;                %设置采样频率 1k
5. N=1024;                %采样点数      
6. n=0:N-1;
7. t=0:1/fs:1-1/fs;          %时间序列
8. f=n*fs/N;               %频率序列
10. Signal_Original=sin(2*pi*50*t);      %信号50Hz正弦波
11. Signal_Noise=sin(2*pi*200*t);      %噪声200Hz正弦波
13. Mix_Signal=Signal_Original+Signal_Noise;      %将信号Signal_Original和Signal_Original合成一个信号进行采样               
14. subplot(221);
15. plot(t, Mix_Signal);   %绘制信号Mix_Signal的波形                                                
16. xlabel('时间');
17. ylabel('幅值');
18. title('原始信号');
19. grid on;
20.   
21. subplot(222);
22. y=fft(Mix_Signal, N);     %对信号 Mix_Signal做FFT   
23. plot(f,abs(y));
24. xlabel('频率/Hz');
25. ylabel('振幅');
26. title('原始信号FFT');
27. grid on;
29. b = fir1(30, 0.25);       %30阶FIR低通滤波器，截止频率125Hz
30. %y2= filter(b, 1, x);
31. y2=filtfilt(b,1,x);           %经过FIR滤波器后得到的信号
32. Ps=sum(Signal_Original.^2);          %信号的总功率
33. Pu=sum((y2-Signal_Original).^2);     %剩余噪声的功率
34. SNR=10*log10(Ps/Pu);               %信噪比
36. y3=fft(y2, N);            %经过FIR滤波器后得到的信号做FFT
37. subplot(223);                              
38. plot(f,abs(y3));
39. xlabel('频率/Hz');
40. ylabel('振幅');
41. title('滤波后信号FFT');
42. grid on;
44. [H,F]=freqz(b,1,512);        %通过fir1设计的FIR系统的频率响应
45. subplot(224);
46. plot(F/pi,abs(H));           %绘制幅频响应
47. xlabel('归一化频率');        
48. title(['Order=',int2str(30),'    SNR=',num2str(SNR)]);
49. grid on;

复制代码

Matlab的运行结果如下：

从运行结果的FFT和信噪比来看，滤波效果比较明显。

36.2.3 fir1设计高通滤波器实例


    下面我们通过一个实例来讲解fir1的高通滤波器的用法。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将50Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数fir1设计一组高通滤波器系数，其阶数是30，截止频率为0.25（也就是125Hz）。Matlab运行代码如下：

1. %****************************************************************************************
2. %                             FIR高通滤波器设计
3. %***************************************************************************************
4. fs=1000;                 %设置采样频率 1k
5. N=1024;                 %采样点数      
6. n=0:N-1;
7. t=0:1/fs:1-1/fs;           %时间序列
8. f=n*fs/N;                %频率序列
10. Signal_Original=sin(2*pi*200*t);   %信号200Hz正弦波
11. Signal_Noise=sin(2*pi*50*t);      %噪声50Hz正弦波
13. Mix_Signal=Signal_Original+Signal_Noise;      %将信号Signal_Original和Signal_Original合成一个信号进行采样               
14. subplot(221);
15. plot(t, Mix_Signal);   %绘制信号Mix_Signal的波形                                                
16. xlabel('时间');
17. ylabel('幅值');
18. title('原始信号');
19. grid on;
20.   
21. subplot(222);
22. y=fft(Mix_Signal, N);     %对信号 Mix_Signal做FFT   
23. plot(f,abs(y));
24. xlabel('频率/Hz');
25. ylabel('振幅');
26. title('原始信号FFT');
27. grid on;
29. b = fir1(30, 0.25, 'high');   %30阶FIR低通滤波器，截止频率125Hz
30. %y2= filter(b, 1, x);
31. y2=filtfilt(b,1,x);           %经过FIR滤波器后得到的信号
32. Ps=sum(Signal_Original.^2);           %信号的总功率
33. Pu=sum((y2-Signal_Original).^2);       %剩余噪声的功率
34. SNR=10*log10(Ps/Pu);                 %信噪比
36. y3=fft(y2, N);            %经过FIR滤波器后得到的信号做FFT
37. subplot(223);                              
38. plot(f,abs(y3));
39. xlabel('频率/Hz');
40. ylabel('振幅');
41. title('滤波后信号FFT');
42. grid on;
44. [H,F]=freqz(b,1,512);        %通过fir1设计的FIR系统的频率响应
45. subplot(224);
46. plot(F/pi,abs(H));            %绘制幅频响应
47. xlabel('归一化频率');        
48. title(['Order=',int2str(30),' SNR=',num2str(SNR)]);
49. grid on;

复制代码

Matlab的运行结果如下：

从运行结果的FFT和信噪比来看，滤波效果比较明显。

席萌0209

36.2.4 fir1设计带通滤波器实例


    下面我们通过一个实例来讲解fir1的带通滤波器的用法。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，设计通带为125Hz到300Hz，下面通过函数fir1设计一组带通滤波器系数，其阶数是30，通带为0.25 < W <0.6。Matlab运行代码如下：

1. %****************************************************************************************
2. %                             FIR带通滤波器设计
3. %***************************************************************************************
4. fs=1000;                 %设置采样频率 1k
5. N=1024;                 %采样点数      
6. n=0:N-1;
7. t=0:1/fs:1-1/fs;           %时间序列
8. f=n*fs/N;                %频率序列
10. Signal_Original=sin(2*pi*200*t);     %信号200Hz正弦波
11. Signal_Noise=sin(2*pi*50*t);        %噪声50Hz正弦波
13. Mix_Signal=Signal_Original+Signal_Noise;      %将信号Signal_Original和Signal_Original合成一个信号进行采样               
14. subplot(221);
15. plot(t, Mix_Signal);   %绘制信号Mix_Signal的波形                                                
16. xlabel('时间');
17. ylabel('幅值');
18. title('原始信号');
19. grid on;
20.   
21. subplot(222);
22. y=fft(Mix_Signal, N);     %对信号 Mix_Signal做FFT   
23. plot(f,abs(y));
24. xlabel('频率/Hz');
25. ylabel('振幅');
26. title('原始信号FFT');
27. grid on;
29. b = fir1(30, [0.25 0.6]);   %30阶FIR低通滤波器，截止频率125Hz
30. %y2= filter(b, 1, x);
31. y2=filtfilt(b,1,x);           %经过FIR滤波器后得到的信号
32. Ps=sum(Signal_Original.^2);           %信号的总功率
33. Pu=sum((y2-Signal_Original).^2);       %剩余噪声的功率
34. SNR=10*log10(Ps/Pu);                 %信噪比
36. y3=fft(y2, N);            %经过FIR滤波器后得到的信号做FFT
37. subplot(223);                              
38. plot(f,abs(y3));
39. xlabel('频率/Hz');
40. ylabel('振幅');
41. title('滤波后信号FFT');
42. grid on;
44. [H,F]=freqz(b,1,512);        %通过fir1设计的FIR系统的频率响应
45. subplot(224);
46. plot(F/pi,abs(H));            %绘制幅频响应
47. xlabel('归一化频率');        
48. title(['Order=',int2str(30),' SNR=',num2str(SNR)]);
49. grid on;

复制代码

Matlab运行结果如下：

从运行结果的FFT和信噪比来看，滤波效果比较明显。

36.2.5 fir1设计带阻滤波器实例


    下面我们通过一个实例来讲解fir1的带阻滤波器的用法。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，设计阻带为125Hz到300Hz，下面通过函数fir1设计一组带阻滤波器系数，其阶数是30，阻带为0.25 < W <0.6。Matlab运行代码如下：

1. %****************************************************************************************
2. %                             FIR带阻滤波器设计
3. %***************************************************************************************
4. fs=1000;                 %设置采样频率 1k
5. N=1024;                 %采样点数      
6. n=0:N-1;
7. t=0:1/fs:1-1/fs;           %时间序列
8. f=n*fs/N;                %频率序列
10. Signal_Original=sin(2*pi*50*t);     %信号50Hz正弦波
11. Signal_Noise=sin(2*pi*200*t);      %噪声200Hz正弦波
13. Mix_Signal=Signal_Original+Signal_Noise;      %将信号Signal_Original和Signal_Original合成一个信号进行采样               
14. subplot(221);
15. plot(t, Mix_Signal);   %绘制信号Mix_Signal的波形                                                
16. xlabel('时间');
17. ylabel('幅值');
18. title('原始信号');
19. grid on;
20.   
21. subplot(222);
22. y=fft(Mix_Signal, N);     %对信号 Mix_Signal做FFT   
23. plot(f,abs(y));
24. xlabel('频率/Hz');
25. ylabel('振幅');
26. title('原始信号FFT');
27. grid on;
29. b = fir1(30, [0.25 0.6], 'stop');   %30阶FIR低通滤波器，截止频率125Hz
30. %y2= filter(b, 1, x);
31. y2=filtfilt(b,1,x);               %经过FIR滤波器后得到的信号
32. Ps=sum(Signal_Original.^2);   %信号的总功率
33. Pu=sum((y2-Signal_Original).^2);     %剩余噪声的功率
34. SNR=10*log10(Ps/Pu);               %信噪比
36. y3=fft(y2, N);            %经过FIR滤波器后得到的信号做FFT
37. subplot(223);                              
38. plot(f,abs(y3));
39. xlabel('频率/Hz');
40. ylabel('振幅');
41. title('滤波后信号FFT');
42. grid on;
44. [H,F]=freqz(b,1,512);        %通过fir1设计的FIR系统的频率响应
45. subplot(224);
46. plot(F/pi,abs(H));            %绘制幅频响应
47. xlabel('归一化频率');        
48. title(['Order=',int2str(30),' SNR=',num2str(SNR)]);
49. grid on;

复制代码

Matlab运行结果如下：

从运行结果的FFT和信噪比来看，滤波效果比较明显。

36.2.6 切比雪夫窗口函数设计带通滤波器实例


    下面我们通过一个实例来讲解fir1设计切比雪夫窗口的的带通滤波器。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，设计通带为125Hz到300Hz，下面通过函数fir1设计一组带通滤波器系数，其阶数是30，通带为0.25 < W <0.6，并且具有25db波纹的切比雪夫窗。Matlab运行代码如下：

1. %****************************************************************************************
2. %                             切比雪夫窗口函数设计带通滤波器
3. %***************************************************************************************
4. fs=1000;                 %设置采样频率 1k
5. N=1024;                 %采样点数      
6. n=0:N-1;
7. t=0:1/fs:1-1/fs;           %时间序列
8. f=n*fs/N;                %频率序列
10. Signal_Original=sin(2*pi*200*t);     %信号200Hz正弦波
11. Signal_Noise=sin(2*pi*50*t);      %噪声50Hz正弦波
13. Mix_Signal=Signal_Original+Signal_Noise;      %将信号Signal_Original和Signal_Original合成一个信号进行采样               
14. subplot(221);
15. plot(t, Mix_Signal);   %绘制信号Mix_Signal的波形                                                
16. xlabel('时间');
17. ylabel('幅值');
18. title('原始信号');
19. grid on;
20.   
21. subplot(222);
22. y=fft(Mix_Signal, N);     %对信号 Mix_Signal做FFT   
23. plot(f,abs(y));
24. xlabel('频率/Hz');
25. ylabel('振幅');
26. title('原始信号FFT');
27. grid on;
29. Window = chebwin(31, 25);           %25db的切比雪夫窗
30. b = fir1(30, [0.25 0.6], Window);   %30阶FIR低通滤波器，截止频率125Hz
31. %y2= filter(b, 1, x);
32. y2=filtfilt(b,1,x);           %经过FIR滤波器后得到的信号
33. Ps=sum(Signal_Original.^2);           %信号的总功率
34. Pu=sum((y2-Signal_Original).^2);       %剩余噪声的功率
35. SNR=10*log10(Ps/Pu);                 %信噪比
37. y3=fft(y2, N);            %经过FIR滤波器后得到的信号做FFT
38. subplot(223);                              
39. plot(f,abs(y3));
40. xlabel('频率/Hz');
41. ylabel('振幅');
42. title('滤波后信号FFT');
43. grid on;
45. [H,F]=freqz(b,1,512);        %通过fir1设计的FIR系统的频率响应
46. subplot(224);
47. plot(F/pi,abs(H));            %绘制幅频响应
48. xlabel('归一化频率');        
49. title(['Order=',int2str(30),' SNR=',num2str(SNR)]);
50. grid on;

复制代码

Matlab运行结果如下：

通过归一化频率可以看出切比雪夫窗口是有一定纹波的。不过从FFT结果和信噪比来看，通过切比雪夫窗口做的滤波效果也是比较明显的。

席萌0209

36.3 fir2函数



36.3.1 fir2函数介绍


    函数fir2用来设计有任意频率响应的各种加窗FIR滤波器。
语法：
    b = fir2(n,f,m)
    b = fir2(n,f,m,window)
    b = fir2(n,f,m,npt)
    b = fir2(n,f,m,npt,window)
    b = fir2(n,f,m,npt,lap)
    b = fir2(n,f,m,npt,lap,window)
参数n为滤波器的阶数。
参数f为频率点矢量，且f[0, 1], f=1对应于0.5fs。矢量f按升序排列，且第一个元素必须为0，最后一个必须为1，并可以包含重复的频率点。
参数m为幅度点矢量，在矢量m中包含了与f相对应的期望得到的滤波器幅度。
参数Window用来指导所使用的窗函数类型，其默认值为汉明窗。
参数npt用来指定fir2函数对频率响应进行内插的点数。
参数lap用来指定fir2函数在重复频率点附近插入的区域大小。

36.3.2 fir2设计低通滤波器


    fir2函数是用来设计任意频率响应的各种加窗FIR滤波器，此函数使用也比较简单，但是要采样的频率点和幅值不好把握，关于这个函数我们仅提供一个低通滤波器的设计。
    原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将200Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数fir2进行设计。其中频率点矢量和幅度点矢量配置如下：

F = [0 0.1  0.2  0.3  0.4 0.5  0.6  0.7  0.8  1];

A = [1  1  1    1     0 0    0   0    0    0];   

Matlab运行的代码如下：

1. %****************************************************************************************
2. %                            fir2设计低通滤波器
3. %***************************************************************************************
4. fs=1000;                 %设置采样频率 1k
5. N=1024;                 %采样点数      
6. n=0:N-1;
7. t=0:1/fs:1-1/fs;           %时间序列
8. f=n*fs/N;                %频率序列
10. Signal_Original=sin(2*pi*50*t);     %信号50Hz正弦波
11. Signal_Noise=sin(2*pi*200*t);      %噪声200Hz正弦波
13. Mix_Signal=Signal_Original+Signal_Noise;      %将信号Signal_Original和Signal_Original合成一个信号进行采样               
14. subplot(221);
15. plot(t, Mix_Signal);   %绘制信号Mix_Signal的波形                                                
16. xlabel('时间');
17. ylabel('幅值');
18. title('原始信号');
19. grid on;
20.   
21. subplot(222);
22. y=fft(Mix_Signal, N);     %对信号 Mix_Signal做FFT   
23. plot(f,abs(y));
24. xlabel('频率/Hz');
25. ylabel('振幅');
26. title('原始信号FFT');
27. grid on;
29. F = [0 0.1  0.2  0.3  0.4 0.5  0.6  0.7  0.8  1];  %表示要采样的点
30. A = [1  1     1     1     0    0     0     0     0     0];   %表示采样点的幅值
31. b = fir2(30, F, A);   %30阶FIR低通滤波器
32. %y2= filter(b, 1, x);
33. y2=filtfilt(b,1,x);           %经过FIR滤波器后得到的信号
34. Ps=sum(Signal_Original.^2);           %信号的总功率
35. Pu=sum((y2-Signal_Original).^2);       %剩余噪声的功率
36. SNR=10*log10(Ps/Pu);                 %信噪比
38. y3=fft(y2, N);            %经过FIR滤波器后得到的信号做FFT
39. subplot(223);                              
40. plot(f,abs(y3));
41. xlabel('频率/Hz');
42. ylabel('振幅');
43. title('滤波后信号FFT');
44. grid on;
46. [H,F]=freqz(b,1,512);        %通过fir1设计的FIR系统的频率响应
47. subplot(224);
48. plot(F/pi,abs(H));            %绘制幅频响应
49. xlabel('归一化频率');        
50. title(['Order=',int2str(30),' SNR=',num2str(SNR)]);
51. grid on;

复制代码

Matlab运行结果如下：

从FFT结果和信噪比来看，fir2任意滤波器设计效果也是比较明显的。

席萌0209

36.4 总结


    本章节主要讲解了函数fir1和函数fir2的使用，想深入的掌握这两个函数，还需要大家多多练习。