FFT变换的频谱泄露问题

eric2013

为了说明频谱泄露的问题，这里我们具一个求解方波FFT变换的例子。在matlab中运行如下代码：

Fs = 256;             % 采样率
N  = 256;            % 采样点数
n  = 0:N-1;          % 采样序列
t  = 0:1/Fs:1-1/Fs;    % 时间序列
x = square(2*pi*30*t,  50);  %原始信号
y = fft(x);     %对原始信号做FFT变换
M = abs(y);  %求FFT转换结果的模值
plot(n, M);   %绘制FFT转换模值的曲线

运行代码，输出结果如下：



与方波的理论计算值相比，上面的幅频响应图中出现了很多小毛刺，其实这个就是频谱泄露的结果导致的。

下面就说说什么是频谱泄露：
    对于频率为fs的正弦序列，它的频谱应该只是在fs处有离散谱。但是，在利用DFT求它的频谱做了截短，结果使信号的频谱不只是在fs处有离散谱，而是在以fs为中心的频带范围内都有谱线出现，它们可以理解为是从fs频率上“泄露”出去的，这种现象称 为频谱“泄露"（结合上面的例子就更形象了）。

    在实际问题中遇到的离散时间序列x(n)通常是无限长序列，因而处理这个序列的时候需要将它截短。截短相当于将序列乘以窗函数w(n)。根据频域卷积定理，时域中x(n)和w(n)相乘对应于频域中它们的离散傅立叶变换X(jw)和W(jw)的卷积。因此，x(n)截矩后的频谱不同于它以前的频谱。
为了减小频谱“泄露”的影响，往往在FFT处理中采用加窗技术，典型的加窗序列有Hamming、Blackman、Gaussian等窗序列。此外，增加窗序列的长度也可以减少频谱“泄露”。

    时域上乘上窗函数，相当于频域进行卷积。长度为无穷长的常数窗函数，频域为delta函数，卷积后的结果和原来一样。如果是有限矩形窗，频域是Sa函数，旁瓣电平起伏大，和原频谱卷积完，会产生较大的失真。

    窗的频谱，越像delta函数（主瓣越窄，旁瓣越小），频谱的还原度越高。于是，就产生了那么多bt的窗函数。加窗就不可避免频谱泄漏，典型的加权序列有Hamming、Blackman、Gaussian等窗序列主要是为了降低降低旁瓣，对于降低频谱泄漏效果远不如增加窗序列的长度明显。
周期信号加窗后做DFT仍然有可能引起频谱泄露，设fs为采样频率，N为采样序列长度，分析频率为：m*fs/N（m=0，1....)，以cos函数为例，设其频率为f0,如果 f0不等于m*fs/N，就会引起除f0以外的其他m*fs/N点为非零值，即出现了泄露。

    DFT作为有限长的运算，对于无限长的信号必须要进行一定程度的截断，既然信号已经不完整了，那么截断后的信号频谱肯定就会发生畸变，截断由窗函数来完成，实际的窗函数都存在着不同幅度的旁瓣，所以在卷积时，除了离散点的频率上有幅度分量外，在相邻的两个频率点之间也有不同程度的幅度，这些应该就是截断函数旁瓣所造成的。