对滑模控制的理解和疑惑？

会飞的猪_2020

陆陆续续看了一部分状态空间的内容。然后主要理解是来自于matlab的科普视频。
但是我目前没分清楚滑模控制和滑模观测器之间的关系，看的资料两者都是杂糅在一起的。


https://www.youtube.com/watch?v=RD-2oiwEbDo


什么是滑模控制(sliding mode control)？

现在的控制理论发展规律如下：最开始的是自动控制原理这门课，研究的是单输入单输出的线性时不变系统。
后来的现代控制理论，研究的是多输入多输出的线性系统。
到后面还有非线性控制理论。

滑模控制就是一种非线性控制，但是它的思想特别简单，我们生活中不自觉间(例如开汽车，速度低了踩油门，速度高了松油门)就会使用到。

引用知乎上陈嘉豪对滑模观测器的一段比喻。

作者：陈嘉豪
链接：https://www.zhihu.com/question/318948029/answer/642526122
来源：知乎
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某外资企业JPig委托我们养一只猪，我们需要定时向该司汇报猪的体重以及饲料量这两个信息。背景是这样的，JPig的核心产品是黄金猪肉脯。近来，JPig的质量管理部门收到了一只来源神秘的肉猪，肉质之口感极佳。这只猪的身上挂了一个牌子，记录了这只猪的成长数据，但是只有体重，却没有谈及饲料用量的信息。行业领先的JPig一看这只猪的体重记录，就知道这只猪的饲主不一般，想要一窥喂养的诀窍。众所周知，喂的多了，猪就会胖，喂的少了，猪就会瘦。但是猪长肉的情况和喂饲料的多少并没有线性关系，甚至还和时间有关，比如今天天气好，那么猪开心就多长肉等等……但是，根据质量或能量守恒定律，猪不可能不吃饭就长胖，饲料量绝对是主要变量，但是状态也很重要，猪开心了长肉有点扯，但是猪可能在200斤的时候吃一斤饲料的成长量和400斤的时候大不相同，这就叫做对状态（猪的体重）的依赖性。被拜托了的我们也很懵逼，但是反正招标嘛，值得一试。别家高校有的在为猪建立数学模型，有的则养了一堆猪去随机优化（比如，接近神秘猪的成长记录的猪得以活下来，其他偏离成长记录的猪全部做成全家猪排饭）。我们实验室的大家伙也一筹莫展。其中的我曾经去Utkin的实验室交流过，并提议要不要试试滑模重构法？大家一听，更加一脸懵逼。我坐了下来，说，很简单，我们不是知道猪的成长记录了吗，那我们如果发现今天猪的体重低于记录值，那么就给猪喂一座山的饲料。如果明天发现猪的体重大于记录，那就饿它一天。这时候小明站出来了，说，你咋这么傻，那你得到的数据连起来不就是一下高一下低的斩波一样的波形吗……小明说着说着，仿佛注意到了什么，看向了我，我也看着他，我们四目相对，会心一笑。这时候，旁边的王博士坐不住了，你们倒是说啊，笑叽霸笑！我继续笑着解释道，我们给数据滤个波不就拿到了喂养饲料量的结果了吗！我们和其他人的区别就是，我们的猪的体重肯定是在成长记录上下波动的，而隔壁大学实验室他们养一群猪，必然浪费资源，而且很可能最后根本就得不到和成长记录接近的猪，他们就是喜欢猪排饭罢了！王博士豁然开朗，妈耶，你咋这么聪明啊小豪。我很得意，说道，这就是滑模重构的思想，先保证猪的成长记录是对的，那么导致这个记录的饲料用量就是对的，也没有很了不起吧，哈哈哈哈哈哈哈。我们仨商讨着，准备第二天去找Huang老师说说我们的方案。我说，在那之前，今晚还是先出去搓一顿吧，于是，当晚我们就去湖滨银泰吃捞神去了，因为我们喜欢吃的是猪肚鸡，而不是猪排饭，所以养一只猪就可以了。

会飞的猪_2020

我们先来看一下matlab的视频，它通俗的讲解了滑模控制器（虽然我目前还明白，控制器和观测的有什么区别）



首先举个例子，假如有一个理想的弹簧结构如图所示：


假设给它一个激励之后，没有其他的力，那么它会在弹簧的作用下，一直来回晃悠。
因为是理想条件，没有阻尼。所以会永远晃悠。

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如果建立一个坐标轴(横轴x1,竖轴x2)

竖轴为速度，横轴为位置，如下图所示：


那么当滑块在弹簧上晃悠的时候，坐标轴的图形会是怎么样的呢？
以上图为例子，此时位置为0，速度沿正方向达到最大(后面收到弹簧的力就减速了，速度反而变小了)
大家可以想象一下，这个坐标轴的轨迹应该如下所示：

会飞的猪_2020

matlab的科普视频听到这里，我产生了一点疑惑，为什么横坐标是位移，纵坐标是速度，这个二维坐标轴到底是啥意义？为啥这样干。

对于这部分内容我有一点拙见，我是这样子理解的。

我们常用微分方程来描述这个世界。
牛顿为什么伟大，一部分就是因为他发明了微积分这个数学工具，去描述这个宏观的世界。
宏观的世界是连续的，而微分就是描述的变化率的一个东西。用来描述宏观世界非常的合适。

我们对一个系统进行数学建模，肯定的是想要通过这个模型去预知未来。如何去预知未来？
经典力学里面，当我们确定一个系统的状态，以及这个状态的变化趋势的时候，就能知道它任意时刻的状态了。

而微分方程就是表述这样的一个东西。这也是为什么牛顿伟大的地方。他建立了这样的体系去描述世界。

例如中学物理里面学的，位移和速度的关系如下所示。
如果知道了初始位置和速度，就能知道t时刻的位移。


那么在微分方程的世界里怎么展示呢？
要知道位移的微分就是速度。（注意这里的速度不再是初中时候的一个定值，它现在是一个对时间的函数）
那么速度v(t)的积分就是位移了。


我们想求得的系统状态在这里就是t时刻的位置s(t)，而我们知道它的变化趋势，也就是s(t)的导数，也就是速度。以及初始时刻的状态也就是C之后，就能得到任意t时刻的位置了。
PS：弹簧那个系统是一个二阶系统，这里为了方便举例子，是一个一阶系统。

所以回到上一张图片，用v和x的二维图形，就能表达这个系统任意一点的状态。
这个也就是说可以用这个图像的轨迹来分析系统的状态。这个是很合理的。让我们继续看matlab的视频

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让我们给这个系统增加阻尼，那么系统会不断整震荡最终停在0点。如下图所示：


我们现在放大这个相平面的图片，可以想象这样的一个模型：

在这个空间上任意一个点出发，最后它的轨迹都跟着箭头会趋于零点。


这些箭头表示这个系统它的固有属性。


现在我们就想通过增加反馈控制环节，去修改这个变化的趋势，去改变系统的这个固有属性。

会飞的猪_2020

我们希望系统为我们所用，人为设计环节之后，改变它在相平面的轨迹。
对于二阶系统的相轨迹，会沿着两个轴弯曲，如之前的的图片所示。




接下去的内容我有点没理解。
视频里面的意思是把轨迹变成一条直线（如黄线）之后，就相当于一个简单的一阶线性系统。
（为什么会这样？我没太理解）



然后它按照下图方式调整相平面：

会飞的猪_2020

那它是怎么调整的呢？

对于一个二阶阻尼的弹簧系统，它的的状态空间表示如下：

u（t）是系统的输入，x(t)我们这边应该是叫状态变量

找到一个switch function（没明白这个是什么）
S=0就是滑模面


为了让系统趋近于滑模面，我们要满足S>0，但是S导数小于0，S<0,S导数大于零。
这个可以理解。这个就是要稳定的条件。


s的导数是什么才能满足这个条件呢？它这里让s导数为一个符号函数乘上一个增益
sign(s)是一个符号函数(s>0是等于1，s<0时等于-1)

然后s导数是可以求出来的

x的导数是根据状态空间方程得到的


然后把系统输入解出来：



所以说这个系统的输入的模型其实是一个变模型，它会随着输出的变化而变化。

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滑模控制的鲁棒性很好也可以知道是为什么了。


因为我们不在乎模型准不准。
随便给个大概就行了。

就算有扰动，也会因为我们最后的那个符号函数，而被抵消掉。
扰动大，就提高增益。


但是他的坏处是什么呢？
就是这种方法必然带来系统的震荡。
相轨迹必然在滑模面上晃悠。


减少震荡但是不影响增益的方法。
把原先的符号函数改为一个上下限幅的一次函数。

或者其他的方式类似方式（例如S形啊，sinθ形啊）

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现在看了视频之后大概对滑模控制的思路是了解了一点。

但是我现在想知道的是滑模观测器，不知道这两个东西有啥联系？